2一個數(shù)列是有界的,當(dāng)且僅當(dāng)它的所有項(xiàng)都在某個區(qū)間內(nèi)。換句話說,如果存在一個正整數(shù)M,使得數(shù)列中的每一項(xiàng)都滿足|an|≤M,那么這個數(shù)列就是有界的。3數(shù)列收斂的定義4一個數(shù)列收斂,當(dāng)且僅當(dāng)它存在一個極" />

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數(shù)列有界是數(shù)列收斂的什么條件

來源: 責(zé)編: 時間:2023-12-22 17:13:31 375觀看
導(dǎo)讀 1數(shù)列有界的定義

2一個數(shù)列是有界的,當(dāng)且僅當(dāng)它的所有項(xiàng)都在某個區(qū)間內(nèi)。換句話說,如果存在一個正整數(shù)M,使得數(shù)列中的每一項(xiàng)都滿足|an|≤M,那么這個數(shù)列就是有界的。3數(shù)列收斂的定義4一個數(shù)列收斂,當(dāng)且僅當(dāng)它存在一個極

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1數(shù)列有界的定義T9x28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com
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數(shù)列有界是數(shù)列收斂的什么條件第1步T9x28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

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2一個數(shù)列是有界的,當(dāng)且僅當(dāng)它的所有項(xiàng)都在某個區(qū)間內(nèi)。換句話說,如果存在一個正整數(shù)M,使得數(shù)列中的每一項(xiàng)都滿足|an|≤M,那么這個數(shù)列就是有界的。T9x28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

3數(shù)列收斂的定義T9x28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

4一個數(shù)列收斂,當(dāng)且僅當(dāng)它存在一個極限,也就是說,當(dāng)n趨近于無窮大時,數(shù)列的所有項(xiàng)都趨近于這個極限。如果一個數(shù)列不收斂,那么它就是發(fā)散的。T9x28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

5數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件T9x28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

6 首先,我們需要知道一個定理:如果一個數(shù)列收斂,那么它一定是有界的。這個定理的證明比較簡單,可以用反證法來證明。假設(shè)一個數(shù)列不是有界的,那么它的絕對值無限大,也就是說,它不存在極限。因此,如果一個數(shù)列收斂,那么它一定是有界的。T9x28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

7 接下來,我們需要證明數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件。也就是說,如果一個數(shù)列有界,那么它一定收斂。這個證明也比較簡單,可以用反證法來證明。假設(shè)一個數(shù)列有界但不收斂,那么它的所有極限都不存在。根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則,我們可以得到這個數(shù)列不滿足柯西收斂準(zhǔn)則,從而得出矛盾。因此,如果一個數(shù)列有界,那么它一定收斂。T9x28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

8數(shù)列有界不是數(shù)列收斂的充分條件T9x28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

9 我們已經(jīng)證明了數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件,但是它不是充分條件。也就是說,存在一些有界數(shù)列,它們不收斂。例如,數(shù)列an=(-1)^n,它的絕對值是1,因此它是有界的。但是,它的極限不存在,因此它不收斂。T9x28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

10 另外,我們需要注意一下,數(shù)列有界不是數(shù)列收斂的充分條件,但是它是收斂數(shù)列的一個重要特征。因此,在判斷一個數(shù)列是否收斂的時候,我們通常會先判斷它是否有界。T9x28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

11結(jié)論T9x28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

12綜上所述,數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件,但不是充分條件。當(dāng)我們判斷一個數(shù)列是否收斂的時候,可以先判斷它是否有界,如果有界,再進(jìn)一步判斷它是否滿足柯西收斂準(zhǔn)則,從而得出結(jié)論。T9x28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

end

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補(bǔ)充:

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