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數(shù)列有界是數(shù)列收斂的什么條件

來(lái)源：責(zé)編：時(shí)間：2023-12-22 17:13:31 308觀看

導(dǎo)讀 1數(shù)列有界的定義

2一個(gè)數(shù)列是有界的，當(dāng)且僅當(dāng)它的所有項(xiàng)都在某個(gè)區(qū)間內(nèi)。換句話說(shuō)，如果存在一個(gè)正整數(shù)M，使得數(shù)列中的每一項(xiàng)都滿足|an|≤M，那么這個(gè)數(shù)列就是有界的。3數(shù)列收斂的定義4一個(gè)數(shù)列收斂，當(dāng)且僅當(dāng)它存在一個(gè)極

1數(shù)列有界的定義

數(shù)列有界是數(shù)列收斂的什么條件第1步

2一個(gè)數(shù)列是有界的，當(dāng)且僅當(dāng)它的所有項(xiàng)都在某個(gè)區(qū)間內(nèi)。換句話說(shuō)，如果存在一個(gè)正整數(shù)M，使得數(shù)列中的每一項(xiàng)都滿足|an|≤M，那么這個(gè)數(shù)列就是有界的。

3數(shù)列收斂的定義

4一個(gè)數(shù)列收斂，當(dāng)且僅當(dāng)它存在一個(gè)極限，也就是說(shuō)，當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列的所有項(xiàng)都趨近于這個(gè)極限。如果一個(gè)數(shù)列不收斂，那么它就是發(fā)散的。

5數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件

6 首先，我們需要知道一個(gè)定理：如果一個(gè)數(shù)列收斂，那么它一定是有界的。這個(gè)定理的證明比較簡(jiǎn)單，可以用反證法來(lái)證明。假設(shè)一個(gè)數(shù)列不是有界的，那么它的絕對(duì)值無(wú)限大，也就是說(shuō)，它不存在極限。因此，如果一個(gè)數(shù)列收斂，那么它一定是有界的。

7 接下來(lái)，我們需要證明數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件。也就是說(shuō)，如果一個(gè)數(shù)列有界，那么它一定收斂。這個(gè)證明也比較簡(jiǎn)單，可以用反證法來(lái)證明。假設(shè)一個(gè)數(shù)列有界但不收斂，那么它的所有極限都不存在。根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，我們可以得到這個(gè)數(shù)列不滿足柯西收斂準(zhǔn)則，從而得出矛盾。因此，如果一個(gè)數(shù)列有界，那么它一定收斂。

8數(shù)列有界不是數(shù)列收斂的充分條件

9 我們已經(jīng)證明了數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但是它不是充分條件。也就是說(shuō)，存在一些有界數(shù)列，它們不收斂。例如，數(shù)列an=(-1)^n，它的絕對(duì)值是1，因此它是有界的。但是，它的極限不存在，因此它不收斂。

10 另外，我們需要注意一下，數(shù)列有界不是數(shù)列收斂的充分條件，但是它是收斂數(shù)列的一個(gè)重要特征。因此，在判斷一個(gè)數(shù)列是否收斂的時(shí)候，我們通常會(huì)先判斷它是否有界。

11結(jié)論

12綜上所述，數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。當(dāng)我們判斷一個(gè)數(shù)列是否收斂的時(shí)候，可以先判斷它是否有界，如果有界，再進(jìn)一步判斷它是否滿足柯西收斂準(zhǔn)則，從而得出結(jié)論。

end

補(bǔ)充：

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